在图论中，寻找连通加权图的最小生成树（MST）是一个常见的问题。MST是图的边的子集，它连接了所有的顶点并最小化了总边权。解决这个问题的一种高效算法是Boruvka算法。
语法
struct Edge { int src, dest, weight;};// Define the structure to represent a subset for union-findstruct Subset { int parent, rank;};
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算法
现在，让我们概述Boruvka算法中涉及的寻找最小生成树的步骤−
将 MST 初始化为空集。
为每个顶点创建一个子集，其中每个子集只包含一个顶点。
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重复以下步骤，直到最小生成树(MST)有V-1条边（V是图中顶点的数量）−
对于每个子集，找到将其连接到另一个子集的最便宜的边。
将选定的边添加到最小生成树中。
对所选边的子集执行并集操作。
输出最小生成树。
方法
在Boruvka算法中，有多种方法可以找到连接每个子集的最便宜的边。以下是两种常见的方法−
方法一：朴素方法
对于每个子集，遍历所有边，并找到将其连接到另一个子集的最小边。
跟踪选定的边并执行联合操作。
示例
#include #include #include struct Edge { int src, dest, weight;};// Define the structure to represent a subset for union-findstruct Subset { int parent, rank;};// Function to find the subset of an element using path compressionint find(Subset subsets[], int i) { if (subsets[i].parent != i) subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); return subsets[i].parent;}// Function to perform union of two subsets using union by rankvoid unionSets(Subset subsets[], int x, int y) { int xroot = find(subsets, x); int yroot = find(subsets, y); if (subsets[xroot].rank subsets[yroot].rank) subsets[yroot].parent = xroot; else { subsets[yroot].parent = xroot; subsets[xroot].rank++; }}// Function to find the minimum spanning tree using Boruvka's algorithmvoid boruvkaMST(std::vector& edges, int V) { std::vector selectedEdges; // Stores the edges of the MST Subset* subsets = new Subset[V]; int* cheapest = new int[V]; // Initialize subsets and cheapest arrays for (int v = 0; v 1) { for (int i = 0; i edges[i].weight) cheapest[set1] = i; if (cheapest[set2] == -1 || edges[cheapest[set2]].weight > edges[i].weight) cheapest[set2] = i; } } for (int v = 0; v edges = { {0, 1, 4}, {0, 2, 3}, {1, 2, 1}, {1, 3, 2}, {1, 4, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 2}, {4, 5, 1}, {2, 5, 5} }; boruvkaMST(edges, V); return 0;}
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输出
Minimum Spanning Tree Weight: 9Selected Edges:0 -- 2 Weight: 31 -- 2 Weight: 11 -- 3 Weight: 24 -- 5 Weight: 13 -- 4 Weight: 2
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Explanation
的中文翻译为：
解释
我们首先定义两个结构 – Edge 和 Subset。 Edge 表示图中的一条边，包含边的源、目的地和权重。 Subset表示并查数据结构的子集，包含父级和排名信息。
find函数是一个辅助函数，它使用路径压缩来查找元素的子集。它递归地查找元素所属的子集的代表（父节点），并压缩路径以优化未来的查询。
unionSets函数是另一个辅助函数，使用按秩合并的方式对两个子集进行合并。它找到两个子集的代表，并根据秩进行合并，以保持平衡树。
boruvkaMST 函数采用边向量和顶点数 (V) 作为输入。它实现了 Boruvka 算法来查找 MST。
在 boruvkaMST 函数内，我们创建一个向量 selectedEdges 来存储 MST 的边。
我们创建一个Subset结构的数组来表示子集，并用默认值初始化它们。
我们还创建了一个数组 cheapest 来跟踪每个子集的最便宜的边。
变量 numTrees 被初始化为顶点的数量，MSTWeight 被初始化为 0。
该算法通过重复组合组件来进行，直到所有组件都在一棵树中。主循环运行直到 numTrees 变为 1。
在主循环的每次迭代中，我们迭代所有边并找到每个子集的最小加权边。如果边连接两个不同的子集，我们用最小加权边的索引更新最便宜的数组。
接下来，我们遍历所有的子集，如果一个子集存在最小权重的边，我们将其添加到selectedEdges向量中，更新MSTWeight，执行子集的并集操作，并减少numTrees的值。
最后，我们输出 MST 权重和选定的边。
主要功能提示用户输入顶点数和边数。然后，它获取每条边的输入（源、目标、权重）并使用输入调用 boruvkaMST 函数。
方法二：使用优先队列
创建一个按照权重排序的优先队列来存储边。
对于每个子集，从优先级队列中找到将其连接到另一个子集的最小权重边。
跟踪选定的边并执行联合操作。
示例
#include #include #include #include using namespace std;// Edge structure representing a weighted edge in the graphstruct Edge { int destination; int weight; Edge(int dest, int w) : destination(dest), weight(w) {}};// Function to find the shortest path using Dijkstra's algorithmvector dijkstra(const vector>& graph, int source) { int numVertices = graph.size(); vector dist(numVertices, INT_MAX); vector visited(numVertices, false); dist[source] = 0; priority_queue, vector>, greater>> pq; pq.push(make_pair(0, source)); while (!pq.empty()) { int u = pq.top().second; pq.pop(); if (visited[u]) { continue; } visited[u] = true; for (const Edge& edge : graph[u]) { int v = edge.destination; int weight = edge.weight; if (dist[u] + weight > graph(numVertices); // Adding edges to the graph graph[0].push_back(Edge(1, 2)); graph[0].push_back(Edge(2, 5)); graph[1].push_back(Edge(2, 1)); graph[1].push_back(Edge(3, 7)); graph[2].push_back(Edge(3, 3)); int source = 0; vector shortestDistances = dijkstra(graph, source); cout 输出
Shortest distances from source vertex 0:Vertex 0: 0Vertex 1: 2Vertex 2: 3Vertex 3: 6
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Explanation
的中文翻译为：
解释
在这种方法中，我们使用优先队列来优化查找每个子集的最小加权边的过程。下面是代码的详细解释 −
代码结构和辅助函数（如find和unionSets）与之前的方法保持相同。
boruvkaMST 函数被修改为使用优先级队列来有效地找到每个子集的最小加权边。
而不是使用最便宜的数组，我们现在创建一个边的优先队列（pq）。我们用图的边来初始化它。
主循环运行直到 numTrees 变为 1，与之前的方法类似。
在每次迭代中，我们从优先队列中提取最小权重的边（minEdge）。
然后我们使用find函数找到minEdge的源和目标所属的子集。
如果子集不同，我们将minEdge添加到selectedEdges向量中，更新MSTWeight，执行子集的合并，并减少numTrees。
该过程将继续，直到所有组件都在一棵树中。
最后，我们输出 MST 权重和选定的边。
主要功能与之前的方法相同，我们有预定义的输入用于测试目的。
结论
Boruvka 算法为查找加权图的最小生成树提供了一种有效的解决方案。在用 C++ 实现该算法时，我们的团队深入探索了两种不同的路径：一种是传统的或“朴素”的方法。另一个利用优先级队列。取决于当前给定问题的具体要求。每种方法都有一定的优点，可以相应地实施。通过理解和实现 Boruvka 算法，您可以有效地解决 C++ 项目中的最小生成树问题。
以上就是C++中的Boruvka算法用于最小生成树的详细内容，更多请关注【创想鸟】其它相关文章！
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